Goldener Schnitt als
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(J1) | f = (sqr(5) +1) / 2 = 1.618033989... |
(J2) | g = (sqr(5) -1) / 2 = 0.618033989... |
(J3) | g + 1 = 1 / g = f |
(J4) | f - 1 = g |
(J5) | f + 1 = f^2 |
(J6) | f - 1 / f = 1 |
(J7) | 1 - 1 / f = (f-1) / f = 1 / (f^2) |
(J8) | ZN = f^N + (-f)^(-N) mit N ganz |
(J8a) | Z2n = f^(2n) + f^(-2n) mit N gerade |
(J8b) | Z2n+1 = f^(2n+1) - f^(-2n-1) mit N ungerade |
(J9) | Z2n + Z2n+1 = f^(2n+2) + f^(-2n-2) = Z2n+2 |
(J10) | Z(Na+Nb) = Z(Na)*Z(Nb) - ((-1)^ Na)*Z(Nb-Na) |
(J11) | B = A - 1/A = (A*A - 1 ) / A |
Sinngemäß
nach Ing. Hans Jäckel: Bildet man die Reihe (J8), dann
ist
erstaunlicherweise ZN immer ganz, und die Reihe gleicht den
Fibonacci-Zahlen, wobei (J9) gilt und das Verhältnis ZN+1 /ZN
immer genauer f wird, weil der zweite Summand in (J8) für große
N verschwindet. Bildet man (J9), die Summe zweier aufeinanderfolgender
Z, ergibt sich mit (J8a),(J8b),(J5),(J7) das nächstfolgende Z .
Desweiteren gilt (J10).
Bem.:
ZN nach (J8) ist ganz wegen fN= aN*f+bN
, mit aN = aN-1+bN-1, bN
= aN-1 und a2=b2=1.
Ganz allgemein ausgedrückt, geht es bei (J8b) um die Summe von A und
ihrem negativem Inversen (J11).
Die zu (J11) analoge Gleichung aus (J8a) mit N=1 existiert nicht, weil
(J8a) nur für gerade N definiert ist. Für die "kosinusartige"
Darstellung gibt es keine einfache Resonanzbedingung !
Irgendwie sind nur die ungeraden N für Resonanz zuständig.
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