X^X und e


Für x gegen Unendlich gilt:

(x^x) / ((x-1)^(x-1)) / (x-0.5) = e
e = 2.718281828..

x kann beliebig gebrochen sein, aber die Schrittweite 1 muss beibehalten werden.

gefunden von Frithjof Müller


Folgerung daraus:

lim [(1+1/n)^(n+1/2)] = e konvergiert besser als lim [(1+1/n)^n] = E

gefunden von Gabi Müller

Beweis für den Grenzwert e (= E = 2.718281828459..):

   ((n+1)^(n+1))/(n^n)/(n+0.5)

  = ((n+1)/n)^n *(n+1)/(n+0.5)
  =   (1+1/n)^n *(n+1)/(n+0.5)
  =      E      *(n+1)/(n+0.5)

  Der limes von (n+1)/(n+0.5) geht gegen 1 für n gegen Unendlich.

Die Konvergenz mit einer Potenz (n + delta) mit delta ungleich 0.5 ist wiederum schlechter.
delta :

       

Die Funktionen x^(1/x) und x^x haben bei der Eulerschen Zahl x=e bzw. x=1/e Extremwerte:






Kontakt

Gabi und Frithjof Müller
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